▷ Binär-, Dezimal-, Oktal- und Hexadezimalsystem, was es ist und wie es funktioniert

Wenn Sie Informatik, Elektronik oder Ingenieurwissenschaften studieren, sollten Sie unter anderem die Umstellung von Nummerierungssystemen durchführen. Beim Rechnen unterscheiden sich die verwendeten Nummerierungssysteme von dem, was wir traditionell kennen, ebenso wie unser Dezimalsystem. Aus diesem Grund müssen wir möglicherweise die am häufigsten verwendeten Systeme kennen und wissen, wie man von einem System auf ein anderes konvertiert, wenn wir uns sowohl dem Bereich der Datenverarbeitung als auch der Programmierung und ähnlicher Technologien widmen.

Inhaltsverzeichnis

So führen Sie Konvertierungen von Nummerierungssystemen durch

Es ist besonders nützlich, das Konvertierungssystem von Dezimal zu Binär zu kennen und umgekehrt, da es das Nummerierungssystem ist, mit dem die Komponenten eines Computers direkt arbeiten. Es ist aber auch sehr nützlich, das Hexadezimalsystem zu kennen, da es beispielsweise zur Darstellung der Farbcodes, Schlüssel und einer großen Anzahl von Codes aus unserem Team verwendet wird.

Nummerierungssysteme

Ein Nummerierungssystem besteht aus der Darstellung einer Reihe von Symbolen und Regeln, mit denen wir die gültigen Zahlen erstellen können. Mit anderen Worten, es besteht aus der Verwendung einer Reihe von begrenzten Symbolen, mit denen es möglich ist, andere numerische Werte ohne Begrenzung zu bilden.

Ohne zu weit in mathematische Definitionen zu gehen, werden die von Menschen und Maschinen am häufigsten verwendeten Systeme die folgenden sein:

Dezimalsystem

Es ist ein Positionsnummerierungssystem, bei dem Größen durch die arithmetische Basis der Zahl zehn dargestellt werden.

Da die Basis Nummer zehn ist, können wir alle Zahlen mit zehn Zahlen erstellen, die wir alle kennen. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Diese Zahlen werden verwendet, um die Position der Potenzen von 10 bei der Bildung einer beliebigen Zahl darzustellen.

In diesem Nummerierungssystem könnten wir also eine Zahl folgendermaßen darstellen:

Wir sehen, dass eine Dezimalzahl die Summe jedes Wertes durch die Basis 10 ist, die auf die Position 1 angehoben wird, die jeder Term einnimmt. Wir werden dies bei Umrechnungen in andere Nummerierungssysteme berücksichtigen.

Binäres System

Das binäre System ist ein Nummerierungssystem, in dem die arithmetische Basis 2 verwendet wird. Dieses System wird von Computern und digitalen Systemen intern verwendet, um absolut alle Prozesse auszuführen.

Dieses Nummerierungssystem wird nur durch zwei Ziffern, 0 und 1, dargestellt, weshalb es auf 2 (zwei Ziffern) basiert. Damit werden alle Wertschöpfungsketten aufgebaut.

Oktalsystem

Wie bei den vorherigen Erklärungen können wir uns bereits vorstellen, worum es beim Oktalsystem geht. Das Oktalsystem ist das Nummerierungssystem, in dem die arithmetische Basis 8 verwendet wird, dh wir haben 8 verschiedene Ziffern, um alle Zahlen darzustellen. Dies sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

Hexadezimalsystem

Nach den vorherigen Definitionen ist das Dezimalzahlensystem ein Positionsnummerierungssystem, das auf der Zahl 16 basiert. An dieser Stelle werden wir uns fragen, wie wir 16 verschiedene Zahlen erhalten sollen, wenn beispielsweise 10 die Kombination zweier Zahlen ist anders?

Ganz einfach, wir haben sie erfunden, nicht uns, sondern diejenigen, die das fragliche System erfunden haben. Die Zahlen, die wir hier haben werden, sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F. Dies ergibt insgesamt 16 verschiedene Begriffe. Wenn Sie jemals den numerischen Code einer Farbe festgelegt haben, hat diese Art der Nummerierung. Aus diesem Grund werden Sie sehen, wie beispielsweise Weiß als Wert FFFFFF dargestellt wird. Wir werden später sehen, was dies bedeutet.

Konvertierung zwischen Binär- und Dezimalsystem

Da es das grundlegendste und am einfachsten zu verstehende ist, werden wir zunächst zwischen diesen beiden Nummerierungssystemen konvertieren.

Konvertieren Sie die Zahl von binär in dezimal

Wie wir im ersten Abschnitt gesehen haben, stellen wir eine Dezimalzahl als die Summe der Werte dar, multipliziert mit der Potenz von 10 zu der Position 1, die sie einnimmt. Wenn wir dies auf eine Binärzahl mit der entsprechenden Basis anwenden, haben wir Folgendes:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Aber wenn wir die Prozedur wie im Dezimalsystem ausführen würden, würden wir natürlich andere Werte als 0 und 1 erhalten, die wir nur in diesem Nummerierungssystem darstellen können.

Aber genau dies wird sehr nützlich sein, um die Konvertierung in das Dezimalsystem durchzuführen. Berechnen wir das Ergebnis jedes Werts in seiner Box:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Wenn wir die Summe dieser Werte aus jeder Zelle ergeben, erhalten wir den dezimalen Äquivalentwert des Binärwerts.

Der Dezimalwert von 100110 ist 38

Wir mussten nur die Ziffer (0 oder 1) mit ihrer Basis (2) multiplizieren, die auf Position 1 angehoben wurde, die sie in der Abbildung einnimmt. Wir addieren die Werte und haben die Zahl in Dezimalzahl.

Wenn Sie nicht überzeugt waren, führen wir jetzt den umgekehrten Prozess durch:

Konvertieren Sie die Dezimalzahl in eine Binärzahl

Wenn wir zuvor eine Multiplikation der Zahlen und einer Summe durchgeführt haben, um den Wert in Dezimalzahl zu bestimmen, müssen wir jetzt die Dezimalzahl durch die Basis des Systems dividieren, in das wir sie konvertieren möchten, in diesem Fall 2.

Wir werden dieses Verfahren durchführen, bis keine weitere Aufteilung mehr möglich ist. Schauen wir uns das Beispiel an, wie es gemacht wird.

Nummer	38	19	9	4	2	1
Abteilung	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	- -
Ruhe dich aus	0	1	1	0	0	1

Dies ist das Ergebnis einer Minimierung der aufeinanderfolgenden Unterteilungen. Möglicherweise haben Sie bereits erkannt, wie dies funktioniert. Wenn wir nun die Reste jeder Division nehmen und ihre Position invertieren, erhalten wir den Binärwert der Dezimalzahl. Das heißt, angefangen dort, wo wir die Division rückwärts beendet haben:

Wir haben also folgendes Ergebnis: 100110

Wie wir sehen können, haben wir es geschafft, genau die gleiche Nummer wie am Anfang des Abschnitts zu haben.

Umwandlung der gebrochenen Dezimalzahl in eine Binärzahl

Wie wir wissen, gibt es nicht nur ganze Dezimalzahlen, sondern wir können auch reelle Zahlen (Brüche) finden. Und als Nummerierungssystem sollte es möglich sein, eine Zahl vom Dezimalsystem in das Binärsystem umzuwandeln. Wir sehen, wie es geht. Nehmen wir als Beispiel die Zahl 38.375

Was wir tun müssen, ist jedes der Teile zu trennen. Wir wissen bereits, wie man den ganzzahligen Teil berechnet, also gehen wir direkt zum Dezimalteil.

Die Prozedur wird wie folgt sein: Wir müssen den Dezimalteil nehmen und ihn mit der Basis des Systems multiplizieren, dh 2. Das Ergebnis der Multiplikation müssen wir erneut multiplizieren, bis wir einen Bruchteil von 0 erhalten. Wenn bei der Multiplikation eine Fraktionszahl mit einem ganzzahligen Teil erscheint, müssen wir nur den Bruch für die nächste Multiplikation nehmen. Schauen wir uns das Beispiel an, um es besser zu verstehen.

Nummer	0, 375	0, 75	0, 50
Multiplikation	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Ganzer Teil	0	1	1

Wie wir sehen können, nehmen wir den Dezimalteil und multiplizieren ihn erneut, bis wir 1, 00 erreichen, wobei das Ergebnis immer 0 ist.

Das Ergebnis von 38.375 in binär ist dann 100 110.011

Aber was passiert, wenn wir dabei nie ein Ergebnis von 1, 00 erreichen können? Sehen wir uns das Beispiel mit 38, 45 an

Nummer	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Multiplikation	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Ganzer Teil	0	1	1	1	0	0	1

Wie wir sehen können , wird der Prozess ab 0, 80 periodisch, dh wir werden den Vorgang niemals beenden, da immer die Zahlen von 0, 8 bis 0, 4 erscheinen. Dann ist unser Ergebnis eine Annäherung an die Dezimalzahl. Je weiter wir gehen, desto genauer werden wir.

Also: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Mal sehen, wie man den umgekehrten Prozess macht

Umwandlung der gebrochenen Binärzahl in eine Dezimalzahl

Dieser Vorgang wird auf die gleiche Weise wie die normale Basisänderung ausgeführt, außer dass die Potenzen vom Komma aus negativ sind. Nehmen wir einfach den ganzzahligen Teil der vorherigen Binärzahl:

0	1	1	1	0	0	1	…
0, 2 -1 = 0	1, 2 -2 = 0, 25	1 -2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1-2 -5 = 0	1 -2 -6 = 0	1 -2 -7 = 0, 0078125	…

Wenn wir die Ergebnisse hinzufügen, erhalten wir:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Wenn wir weiterhin operieren würden, würden wir uns dem genauen Wert von 38, 45 immer näher kommen

Konvertierung zwischen Oktalsystem und Binärsystem

Nun werden wir sehen, wie die Konvertierung zwischen zwei Systemen durchgeführt wird, die nicht die Dezimalzahl sind. Dazu nehmen wir das Oktalsystem und das Binärsystem und führen das gleiche Verfahren wie in den vorherigen Abschnitten durch.

Konvertieren Sie die Zahl von binär in oktal

Die Konvertierung zwischen beiden Nummerierungssystemen ist sehr einfach, da die Basis des Oktalsystems dieselbe wie im Binärsystem ist, jedoch auf die Potenz 3, 2 ³ = 8 angehoben wird. Auf dieser Grundlage gruppieren wir die binären Terme von rechts nach links in Dreiergruppen und konvertieren sie direkt in eine Dezimalzahl. Sehen wir uns das Beispiel mit der Nummer 100110 an:

1	0	0	1	1	0
100	110
0, 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Wir gruppieren alle drei Ziffern und konvertieren in Dezimalstellen. Das Endergebnis ist 100110 = 46

Aber was ist, wenn wir keine perfekten Dreiergruppen haben? Zum Beispiel 1001101 haben wir zwei Gruppen von 3 und eine von 1. Lassen Sie uns sehen, wie es weitergeht:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0, 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0, 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Nach dem Verfahren nehmen wir die Gruppen von der rechten Seite des Begriffs und füllen am Ende so viele Nullen wie nötig. In diesem Fall haben wir zwei benötigt, um die letzte Gruppe zu vervollständigen. Also 1001101 = 115

Konvertieren Sie die Oktalzahl in eine Binärzahl

Nun, die Prozedur ist so einfach wie das Gegenteil, das heißt, in Gruppen von 3 von binär zu dezimal zu gehen. Sehen wir es uns mit der Zahl 115 an

Wert	1	1	5
Abteilung	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	- -
Ruhe dich aus	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Gruppe	001	001	101

Auf diese Weise sehen wir, dass 115 = 001001101 oder was das gleiche ist 115 = 1001101

Konvertierung zwischen Oktalsystem und Dezimalsystem

Jetzt werden wir sehen, wie das Verfahren zum Übergang vom Oktalzahlensystem zur Dezimalzahl und umgekehrt durchgeführt wird. Wir werden sehen, dass die Prozedur genau die gleiche ist wie im Fall des Dezimal- und Binärsystems, nur müssen wir die Basis auf 8 anstatt auf 2 ändern.

Wir werden die Verfahren direkt mit Begriffen mit einem Bruchteil durchführen.

Konvertieren Sie die Dezimalzahl in Oktal

Nach der Prozedur der Dezimal-Binär-Methode werden wir sie am Beispiel von 238.32 ausführen:

Ganzer Teil. Wir teilen durch die Basis, die 8 ist:

Nummer	238	29	3
Abteilung	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	- -
Ruhe dich aus	6	5	3

Dezimalteil multiplizieren wir mit der Basis, die 8 ist:

Nummer	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Multiplikation	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Ganzer Teil	2	4	3	6	5	…

Das erhaltene Ergebnis ist wie folgt: 238, 32 = 356, 24365…

Konvertieren Sie die Oktalzahl in eine Dezimalzahl

Dann machen wir den umgekehrten Prozess. Übergeben wir die Oktalzahl 356.243 an die Dezimalzahl:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Das Ergebnis ist: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Konvertierung zwischen Hexadezimalsystem und Dezimalsystem

Wir beenden dann den Konvertierungsprozess zwischen dem hexadezimalen Nummerierungssystem und dem Dezimalsystem.

Konvertieren Sie die Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl

Nach dem Verfahren der Dezimal-Binär- und Dezimal-Oktal-Methode werden wir es am Beispiel von 238.32 ausführen:

Ganzer Teil. Wir teilen durch die Basis, die 16 ist:

Nummer	238	14
Abteilung	÷ 16 = 14	- -
Ruhe dich aus	E.	E.

Dezimalteil multiplizieren wir mit der Basis, die 16 ist:

Nummer	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Multiplikation	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Ganzer Teil	5	1	E.	B.	8	…

Das erhaltene Ergebnis ist wie folgt: 238, 32 = EE, 51EB8…

Konvertieren Sie die Zahl von hexadezimal nach dezimal

Dann machen wir den umgekehrten Prozess. Übergeben wir die Hexadezimalzahl EE, 51E an die Dezimalzahl:

E.	E.	,	5	1	E.
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Das Ergebnis ist: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Nun, dies sind die wichtigsten Möglichkeiten, um die Basis von einem Nummerierungssystem zu einem anderen zu ändern. Das System ist auf ein System in jeder Basis und im Dezimalsystem anwendbar, obwohl diese im Bereich der Datenverarbeitung am häufigsten verwendet werden.

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